Mi expareja puede vender la casa que habito con nuestros hijos en común?

Mi expareja y yo vivimos bajo el mismo techo parcialmente. Ambos trabajamos y él tiene un departamento que le queda a 5 minutos en auto. Quiere que nos dividamos el tiempo con los niños (custodia compartida), no obstante yo siempre les he dedicado mucho más tiempo, siendo ellos mi prioridad absoluta. El gana como 10 veces más que yo. Tengo entendido que la custodia compartida es de mutuo acuerdo y para padres que logran coparentar y comunicarse de una manera sana y efectiva, pero el me violenta en forma psicológica, económica, no me informa cosas básicas, etc. Ahora me dijo que vendería la casa que comparto con mis niños. Mi pregunta es ¿puede hacerlo? No estamos casados, la casa está a su nombre, los niños son menores de edad. Necesito saber qué acciones legales puedo tomar que no sea demandarlo. Me urge proteger a mis hijos. Estimo que se está incumpliendo el interés superior de los niños al quitarles su domicilio (no tengo donde ir, además la casa se encuentra muy cerca del colegio, donde tienen su red de apoyo) y exigir custodia compartida si la relación es mala dado su comportamiento cruel y agresivo. El pasa muy poco tiempo en la casa y él período que le corresponda a él (en caso de compartir custodia) contratará a una nana 24/7. Yo no hago nada excepto trabajo y casa, disponiendo de mucho más tiempo.